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Satz des Pythagoras

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Satz des Pythagoras
Die Summe der Flächen der zwei Quadrate an den Beinen ( a und b ) gleich die Fläche des Quadrats auf der Hypotenuse ( c ).

In der Mathematik , der Satz des Pythagoras , auch bekannt als Satz des Pythagoras , ist eine fundamentale Beziehung in der euklidischen Geometrie zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks . Es besagt , dass das Quadrat der Hypotenuse (die Seite gegenüber dem rechten Winkel ) zu der Summe der Quadrate der gleich anderen zwei Seiten . Der Satz kann als geschrieben werden , die Gleichung , die Längen der Seiten beziehen , a , b und c , die oft als „pythagoreischen Gleichung“ genannt: [1]

wobei c die Länge der Hypotenuse und a und b die Längen der anderen zwei Seiten des Dreiecks.

Obwohl es oft argumentiert , dass Wissen des Satzes schon vor ihm, [2] [3] ist der Satz nach dem Namen der antiken griechischen Mathematiker Pythagoras ( c. 570-495 vor Christus) als er es ist, durch Tradition, mit seinen gutgeschrieben erste urkundliche Beweis . [4] [5] [6] Es gibt einige Hinweise , dass babylonischer Mathematiker die Formel verstanden, obwohl wenig davon eine Anwendung innerhalb eines mathematischen Rahmen angibt. [7] [8] mesopotamischen , indischer und chinesischer Mathematiker entdeckte alle den Satz unabhängig und in einigen Fällen Beweise für Sonderfälle vorgesehen.

Der Satz wurde mit zahlreichen gegeben Beweisen  - vielleicht am meisten auf jeden mathematischen Satz. Sie sind sehr vielfältig, einschließlich sowohl geometrische Beweise und algebraische Beweise, mit Tausenden von Jahren einige aus. Der Satz kann auf verschiedene Weise verallgemeinert werden, einschließlich höherdimensionalen Räumen, zu Räumen , die nicht euklidischen sind, um Objekte , die nicht rechtwinklige Dreiecke sind, und in der Tat, auf Objekte, die nicht die Dreiecke sind überhaupt, aber n -dimensionalen Feststoffe. Der Satz des Pythagoras hat das Interesse außerhalb der Mathematik als Symbol der mathematischen abstruseness, mystique, oder geistiger Kraft angezogen; beliebte Hinweise in der Literatur, Theaterstücke, Musicals, Lieder, Briefmarken und Karikaturen gibt es zuhauf.

pythagoreische Beweis

Der Pythagoreische Beweis (click Animation zu sehen)

Der Satz des Pythagoras wurde vor Pythagoras lange bekannt, aber er kann auch die erste , es zu beweisen gewesen. [2] In jedem Fall ist der Nachweis ihm zugeschrieben ist sehr einfach, und ist ein Beweis durch Umlagerung genannt.

Die beiden großen Quadrate in der Figur gezeigt enthalten jeweils vier identische Dreiecke, und der einzige Unterschied zwischen den beiden großen Quadraten ist , dass die Dreiecke unterschiedlich angeordnet sind. Daher muss der Leerraum innerhalb jeder der beiden großen Quadraten gleicher Fläche haben. Die Gleichsetzung auf den Bereich des weißen Raumes ergibt den Satz des Pythagoras, QED [9]

Das Pythagoras dieses sehr einfache Beweis entstanden ist manchmal aus den Schriften der späteren griechischen Philosophen und Mathematiker gefolgert Proklus . [10] Verschiedene andere Beweise dieses Satzes sind unten beschrieben, aber dies ist als der pythagoreischen eines bekannt.

Andere Formen des Satzes

Wie in der Einleitung erwähnt, wenn c die bezeichnete Länge der Hypotenuse und a und b bedeuten die Längen der anderen zwei Seiten kann der Satz von Pythagoras als pythagoreischen Gleichung ausgedrückt werden:

Wenn die Länge der beiden a und b bekannt sind, dann c wie folgt berechnet werden

Wenn die Länge der Hypotenuse c und von einer Seite ( a oder b ) bekannt sind, dann kann die Länge der anderen Seite berechnet wird

oder

Die pythagoreischen Gleichung bezieht sich die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks auf einfache Art und Weise, so dass, wenn die Längen von zwei beliebigen Seiten sind, können gefunden werden, um die Länge der dritten Seite bekannt. Eine weitere Folge des Satzes ist, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck, die Hypotenuse größer ist als jeder eine der anderen Seiten, aber weniger als die Summe.

Eine Verallgemeinerung dieses Satzes ist das Gesetz des Kosinus , die die Berechnung der Länge einer Seite von jedem Dreieck ermöglicht es , die Länge der beiden anderen Seiten und der Winkel zwischen ihnen gegeben. Wenn der Winkel zwischen den anderen Seiten ein rechter Winkel ist, reduziert das Kosinussatz zur pythagoreischen Gleichung.

Andere Beweise des Satzes

Dieser Satz kann mehr bekannte Beweise als jede andere (das Gesetz der quadratischen Reziprozität ein weiterer Anwärter für diese Unterscheidung ist); das Buch Der Pythagoreische Proposition enthält 370 Beweise. [11]

Der Nachweis unter Verwendung von ähnlichen Dreiecken

Der Nachweis unter Verwendung von ähnlichen Dreiecken

Dieser Nachweis basiert auf der Proportionalität der Seiten von zwei ähnlichen Dreiecken, das heißt, auf der Tatsache , dass das Verhältnis von irgendwelchen zwei entsprechenden Seiten ähnlicher Dreiecke die gleiche ist unabhängig von der Größe der Dreiecke.

Lassen ABC ein rechtwinkliges Dreieck darstellt, mit dem rechten Winkel , bei mir C , wie auf der Abbildung dargestellt. Zeichnen Sie die Höhe von Punkt C , und ruft H seinen Schnittpunkt mit der Seite AB . Punkt H teilt die Länge der Hypotenuse c in Teile d und e . Das neue Dreieck ACH ist ähnlich zu Dreieck ABC , weil sie beide einen rechten Winkel haben (nach Definition der Höhe), und sie den Winkel teilen A , was bedeutet , dass der dritte Winkel als auch das gleiche in beiden Dreiecken sein wird, markiert als θ in der Figur. Durch eine ähnliche Argumentation, das Dreieck CBH ist auch ähnlich ABC . Der Nachweis der Ähnlichkeit der Dreiecke erfordert das Dreieck Postulat : die Summe des Winkels in einem Dreieck ist , zwei rechte Winkel, und ist äquivalent zu dem parallel Postulat . Ähnlichkeit der Dreiecke führt zur Gleichheit der Verhältnisse von entsprechenden Seiten:

Das erste Ergebnis entspricht die Kosinus der Winkel θ , wohingegen das zweite Ergebnis ihrer gleichsetzt sines .

Diese Verhältnisse können geschrieben werden als

Summieren dieser beiden Gleichheiten Ergebnisse in

, die nach Vereinfachung, drückt der Satz des Pythagoras:

Die Rolle dieses Beweises in der Geschichte ist der Gegenstand vieler Spekulationen. Die zugrunde liegende Frage ist , warum Euklid nicht diesen Beweis verwenden, aber erfunden andere. Eine Vermutung ist , dass der Nachweis durch ähnliche Dreiecken eine Theorie der Proportionen beteiligt ist , ein Thema erst später in den diskutierten Elementen , und dass die Theorie der Proportionen benötigte Weiterentwicklung zu dieser Zeit. [12] [13]

Euklids Beweis

Der Beweis in der euklidischen Elemente

Kurz umrissen, hier ist , wie der Beweis in Euclid ‚s Elements fortschreitet. Der große Platz ist in einen linken und rechten Rechteck geteilt. Ein Dreieck ist so aufgebaut , dass die Hälfte der Fläche des linken Rechtecks hat. Dann wird ein anderes Dreieck konstruiert , die auf der am weitesten links gelegenen Seite der Hälfte der Fläche des Quadrates hat. Diese beiden Dreiecke gezeigt werden kongruent , was beweist dieses Quadrat hat die gleiche Fläche wie die linke Rechteck. Dieses Argument wird durch eine ähnliche Version für das rechte Rechteck und den verbleibenden Platz gefolgt. Die Zusammenstellung der beiden Rechtecke auf den Platz auf der Hypotenuse zu reformieren, ist seine Fläche gleich der Summe der Fläche der anderen beiden Plätzen. Die Details folgen.

Lasse A , B , C die sein Eckpunkten eines rechtwinkligen Dreiecks mit einem rechten Winkel auf A . Drop eine Senkrechten von A auf der Seite gegenüber der Hypotenuse im Quadrat auf der Hypotenuse. Diese Linie trennt den Platz auf der Hypotenuse in zwei Rechtecken, die jeweils an den Schenkeln die gleiche Fläche wie eine der beiden Quadrate aufweist.

Für den formalen Beweis benötigen wir vier elementare Lemmata :

  1. Wenn zwei Dreiecke haben zwei Seiten des einen gleich zwei Seiten des anderen, die jeweils jeder, und die von den Seiten eingeschlossene Winkel gleich sind , dann werden die Dreiecke kongruent ( Seitenwinkel-Seite ).
  2. Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte der Fläche eines Parallelogramms auf der gleichen Basis und die gleiche Höhe aufweisen.
  3. Die Fläche eines Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt von zwei benachbarten Seiten gleich.
  4. Die Fläche eines Quadrats ist gleich dem Produkt von zwei ihrer Seiten (ergibt sich aus 3) gleich sind.

Als nächstes wird jedes oberes Quadrat mit einem anderen Dreieck wiederum zu einem von zwei Rechtecken, aus denen das unteren Quadrat mit Bezug zu einem Dreieck deckungsgleich verwendet. [14]

Illustration einschließlich der neuen Linien
Es werden die zwei kongruente Dreiecke der Hälfte der Fläche des Rechtecks ​​BDLK und square BAGF

Der Beweis ist wie folgt:

  1. Lassen Sie ACB ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel CAB sein.
  2. Auf jeder der Seiten BC, AB, und CA, Quadrate gezeichnet, CBDE, BAGF und ACIH, in dieser Reihenfolge. Die Konstruktion der Quadrate erfordert , dass die unmittelbar vorangehenden Sätze in Euclid, und hängt von dem parallelen Postulat. [15]
  3. Von A, eine Linie parallel zu BD und CE ziehen. Es wird senkrecht schneiden BC und DE in K und L.
  4. Registriert CF und AD, die Dreiecke BCF und BDA zu bilden.
  5. Winkel CAB und BAG sind beide rechten Winkel; daher C, A und G sind kollinear . Ähnliches gilt für B, A und H.
  6. Angles CBD und FBA sind beide rechten Winkel; Daher Winkel ABD gleich Ausfallswinkel FBC, da sowohl die Summe aus einem rechten Winkel und Winkel ABC sind.
  7. Da AB gleich FB ist und BD ist gleich BC muß Dreieck ABD zu Dreieck FBC deckungsgleich sein.
  8. Da AKL eine gerade Linie, die parallel zu BD ist, Rechteck dann BDLK zweimal die Fläche des Dreiecks ABD hat, weil sie die Basis BD und haben die gleiche Höhe BK, also teilen, eine Linie, die senkrecht zu ihrer gemeinsamen Basis, die die parallelen Linien BD Verbinden und AL. (Lemma 2)
  9. Da C kollinear mit A und G ist, muß rechtwinklig BAGF zweimal Dreieck FBC in Bereich sein.
  10. Daher muss Rechteck BDLK die gleiche Fläche wie Quadrat BAGF haben = AB 2 .
  11. In ähnlicher Weise kann gezeigt werden , dass Rechteck CKLE die gleiche Fläche wie Quadrat ACIH = AC haben muss 2 .
  12. Das Hinzufügen dieser beiden Ergebnisse, AB 2 + AC 2 = BD × BK + KL × KC
  13. Da BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD (BK + KC) = BD × BC
  14. Daher AB 2 + AC 2 = BC 2 , da CBDE ist ein Quadrat.

Dieser Beweis, der in Euklids erscheint Elemente wie die der Proposition 47 in Buch 1, [16] zeigt , dass die Fläche des Platzes auf der Hypotenuse die Summe der Flächen der beiden anderen Plätze ist. [17] Dies ist ganz verschieden von dem Nachweis durch die Ähnlichkeit der Dreiecke, die der Beweis sein vermutet wird , dass Pythagoras verwendet. [13] [18]

Proofs durch Dissektion und Umordnung

Wir haben bereits die Pythagoreische Beweis diskutiert, was ein Beweis durch Umlagerung war. Die gleiche Idee ist unten durch die am weitesten links stehenden Animation befördert, die aus einem großen Quadrat besteht, Seite a + b , vier identische rechtwinklige Dreiecken enthält. Die Dreiecken werden in zwei Anordnungen dargestellt, von denen die ersten Blättern zwei Quadrate a 2 und b 2 freigelegt, von denen die zweiten quadratischen Blättern c 2 freigelegt. Die gesamte Fläche der äußeren Quadrat umgeben ändert sich nie, und die Fläche der vier Dreiecke die gleiche ist am Anfang und am Ende, so dass die schwarzen quadratischen Flächen müssen gleich sein, damit ein 2 + b 2 = c 2 .

Ein zweiter Beweis durch Umlagerung wird durch die mittlere Animation gegeben. Ein großes Quadrat ist mit einer Fläche ausgebildet , c 2 , aus vier identischen rechtwinkligen Dreiecken mit Seiten a , b und c , Einbau um einen kleinen zentralen Platz. Dann werden zwei Rechtecke mit Seiten gebildet sind a und b durch die Dreiecke bewegen. Das kleinere Quadrats mit diesen Rechtecken Kombinieren produziert zwei Quadrate von Flächen a 2 und b 2 , das die gleiche Fläche wie der anfänglichen großen Platz haben muß. [19]

Das dritte, am weitesten rechts stehende Bild gibt auch einen Beweis. Die oberen zwei Felder unterteilt sind , wie durch die blaue und grüne Schattierung gezeigt ist , in Stücke , dass , wenn neu angeordnet in dem unteren Platz auf der Hypotenuse passend gemacht werden - oder umgekehrt der große Platz wie in Stücke, die die beide andere füllen gezeigt unterteilt werden kann . Auf diese Weise des Schneidens eine Figur in Stücke und Neuanordnung sie eine andere Figur bekommen heißt Dissektion . Dies zeigt die Fläche des großen Platzes entspricht , dass von den beiden kleineren. [20]

Animation zeigt Nachweis durch Umlagerung von vier identischen rechtwinkligen Dreiecken
Animation zeigt einen weiteren Beweis durch Umlagerung
Der Nachweis eine aufwendige Umlagerung unter Verwendung von

Einstein Beweis durch Dissektion ohne Umlagerung

Rechtwinkliges Dreieck auf der Hypotenuse in zwei ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke an den Beinen seziert nach Einstein Beweis

Albert Einstein gab einen Beweis durch Zerlegung in dem die Stücke müssen nicht umgeworfen wird. [21] Anstatt ein Quadrat auf der Hypotenuse und zwei Quadrate an den Beinen zu verwenden, kann eine beliebige andere Form verwenden, die die Hypotenuse umfasst, und zwei ähnliche Formen , die jeweils einer der beiden Schenkel umfassen anstelle der Hypotenuse. In Einstein Beweis, die Form , die die Hypotenuse umfasst , ist das rechte Dreieck selbst. Die Präparation besteht aus einem senkrecht von dem Scheitelpunkt des rechten Winkels des Dreiecks der Hypotenuse fallen, wodurch das ganze Dreieck in zwei Teile aufgeteilt wird . Diese beiden Teile haben die gleiche Form wie das ursprüngliche rechtwinkliges Dreieck, und haben die Beine des ursprünglichen Dreiecks als ihren Hypotenusen, und die Summe ihrer Flächen ist die des ursprünglichen Dreiecks. Weil das Verhältnis der Fläche eines rechtwinkligen Dreieck mit dem Quadrat seiner Hypotenuse das gleiches für ähnliche Dreiecken ist, hält die Beziehung zwischen den Flächen der drei Dreiecken für die Quadrate der Seiten des großen Dreiecks sowie.

algebraische Beweise

Schematische Darstellung der beiden algebraischen Beweise

Der Satz kann algebraisch nachgewiesen wird unter Verwendung von vier Kopien eines rechtwinkligen Dreieck mit einer Seitenlänge a , b und c , in einem Quadrat mit der Seite angeordnet sind c wie in der oberen Hälfte des Diagramms. [22] Die Dreiecke sind ähnlich mit Bereich, Während die kleine Quadratseite hat b - a und die Fläche ( b - a ) 2 . Das Gebiet des großen Platzes ist daher

Aber dies ist ein Quadrat mit Seiten c und Fläche c 2 , so

Ein ähnlicher Nachweis verwendet vier Kopien des gleichen Dreiecks symmetrisch um ein Quadrat mit Seiten angeordnet C , wie in dem unteren Teil des Diagramms dargestellt. [23] Dies führt zu einem größeren quadratisch, mit Seiten a + b und die Fläche ( a + b ) 2 . Die vier Dreiecken und die quadratischen Seiten c muss die gleiche Fläche wie das größere Quadrat haben,

Angabe

Schematische Darstellung der Garfields Beweis

Ein verwandter Beweis wurde vom künftigen US - Präsident veröffentlicht James A. Garfield (damals ein US - Vertreter ). [24] [25] Anstelle eines quadratischen eine verwendet Trapezes , das von dem Platz in dem zweiten der obigen Proofs durch halbierenden entlang einer Diagonale des Innen Quadrat aufgebaut sein kann, sind die trapez zu ergeben , wie in dem Diagramm gezeigt. Die Fläche des Trapezoids kann die Hälfte zu sein , der Bereich des Quadrates berechnet werden, das heißt

Der innere Quadrat ist in ähnlicher Weise halbiert, und es gibt nur zwei Dreiecke so der Nachweis wie oben, außer für den Faktor schreitet , Die durch die Multiplikation von zwei entfernt wird, um das Ergebnis zu liefern.

Der Nachweis mit Differentiale

Man kann auf dem Satz des Pythagoras kommt durch das Studium , wie sie Veränderungen in einer Seite eine Änderung der Hypotenuse produzieren und unter Verwendung Kalkül . [26] [27] [28]

Das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist , wie in dem oberen Teil des Diagramms dargestellt, wobei BC die Hypotenuse. Zur gleichen Zeit werden die Dreieckslängen gemessen , wie gezeigt, mit der Hypotenuse Länge y , der Seite AC der Länge x und der Seite AB der Länge a , wie in dem unteren Diagrammteil gesehen.

Diagramm für Differential Beweis

Wenn x um einen kleinen Betrag erhöht wird dx durch die Seite erstreckt AC leicht auf D , dann y erhöht auch durch Dy . Diese bilden zwei Seiten eines Dreiecks, CDE , die (mit E so gewählt, CE senkrecht zur Hypotenuse ist) ist ein etwa rechtwinkliges Dreieck ähnlich wie ABC . Daher müssen die Verhältnisse ihrer Seiten gleich sein, das heißt:

Dies kann wie folgt umgeschrieben werden , Die eine Differentialgleichung , die durch die direkte Integration gelöst werden kann:

Angabe

Die Konstante kann aus abgeleitet wird , x = 0, y = a der Gleichung geben

Dies ist eher eine intuitive Beweis als ein formaler: es strenger gemacht werden können , wenn die entsprechenden Grenzen anstelle von sind dx und dy .

gegenteilig

Die Umkehrung des Satzes ist auch wahr: [29]

Für alle drei positiven Zahlen a , b und c , so daß ein 2 + b 2 = c 2 , ein Dreieck mit Seiten existiert a , b und c , und jedes solches Dreieck einen rechten Winkel zwischen den Seiten von Längen hat a und b .

Eine alternative Erklärung ist:

Für jedes Dreieck mit einer Seitenlänge a , b , c , wenn a 2 + b 2 = c 2 , dann ist der Winkel zwischen a und b um 90 ° misst.

Diese Umkehrung erscheint auch in Euklids Elementen (Buch I, Proposition 48): [30]

„Wenn in einem Dreieck der Platz auf einem der Seiten, die Summe der Quadrate auf den verbleibenden zwei Seiten des Dreiecks entspricht, dann ist der Winkel, der von den verbleibenden zwei Seiten des Dreiecks enthalten ist richtig.“

Es kann mit dem nachgewiesen werden Kosinussatz oder wie folgt:

Lassen ABC ein Dreieck mit den Seitenlängen ein , b und c , mit einem 2 + b 2 = c 2 . Konstrukt ein zweites Dreiecks mit den Seitenlängen a und b einen rechten Winkel enthält. Durch den Satz des Pythagoras, folgt, dass die Hypotenuse dieses Dreiecks Länge c = a 2 + b 2 , das gleiche wie die Hypotenuse des ersten Dreiecks. Da beiden Dreiecken Seiten die gleichen Längen a , b und c sind die Dreiecken kongruent und müssen die gleichen Winkel aufweisen. Daher ist der Winkel zwischen der Seite der Längen a und b ist in dem ursprünglichen Dreieck ein rechter Winkel.

Der obige Beweis der Umkehrung macht Gebrauch von dem Satz des Pythagoras selbst. Das Gegenteil kann auch den Satz des Pythagoras ohne die Annahme nachgewiesen werden. [31] [32]

Eine logische Folge der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist ein einfaches Mittel zur Bestimmung , ob ein Dreieck rechts ist, stumpf oder spitz, wie folgt. Lassen c gewählt werden , die längste der drei Seiten und ist a + b > c (sonst gibt es kein Dreieck entsprechend der Dreiecksungleichung ). Die folgenden Aussagen gelten: [33]

  • Wenn ein 2 + b 2 = c 2 , dann ist das Dreieck rechts.
  • Wenn ein 2 + b 2 > c 2 , dann ist das Dreieck akut.
  • Wenn ein 2 + b 2 < c 2 , dann ist das Dreieck stumpf.

Edsger W. Dijkstra hat diesen Satz über akute angegeben, rechts, und stumpfe Dreiecken in dieser Sprache:

sgn ( a + b - c ) = sgn ( al 2 + b 2 - C 2 ),

wobei α der Winkel entgegengesetzt ist , auf der Seite a , β ist der Winkel , entgegengesetzt zur Seite b , γ der Winkel entgegengesetzt zur Seite ist , c und sgn ist die Signum - Funktion . [34]

Folgen und Verwendungen des Satzes

pythagoreische Tripel

A pythagoreischen triple hat drei positive ganze Zahlen a , b und c , so daß ein 2 + b 2 = c 2 . Mit anderen Worten stellt ein pythagoreischen triple die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks , in der alle drei Seiten ganzzahlige Längen aufweisen. [1] Der Nachweis von Megalithen in Nordeuropa zeigt , dass solche Tripel vor der Entdeckung des Schreibens bekannt waren. Eine solche Dreifach häufig geschrieben wird ( a , b , c ). Einige bekannte Beispiele sind (3, 4, 5) und (5, 12, 13).

Eine primitive pythagoreischen triple ist eine , in der a , b und c sind coprime (der größte gemeinsame Teiler von a , b und c ist 1).

Im Folgenden ist eine Liste der primitiven pythagoreischen Tripel mit Werten von weniger als 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12 , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77 , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

inkommensurabel Längen

Die Spirale der Theodorus : Eine Konstruktion für die Liniensegmente mit einer Länge , deren Verhältnisse sind die Quadratwurzel aus einer positiven ganzen Zahl

Eine der Folgen des Satz des Pythagoras ist , daß Liniensegmente , deren Längen inkommensurabel (so das Verhältnis davon ist nicht eine rationale Zahl ) konstruiert werden kann unter Verwendung eines Lineals und Kompass . Satz des Pythagoras ermöglicht den Aufbau inkommensurabel Längen , da die Hypotenuse eines Dreiecks bezieht sich auf die Seiten von der Quadratwurzeloperation.

Die Figur auf der rechten Seite zeigt , wie die Linienabschnitte , deren Länge im Verhältnis der Quadratwurzel von beliebigen positiven ganzen Zahl zu konstruieren. [35] hat jedes Dreieck eine Seite ( die mit „1“) , dass die gewählten Einheit für die Messung ist. In jedem rechtwinkligen Dreiecks legt Satz des Pythagoras die Länge der Hypotenuse in Bezug auf diese Einheit. Wenn eine Hypotenuse an die Einheit mit der Quadratwurzel aus einer positiven ganzen Zahl in Beziehung steht , die nicht ein perfektes Quadrat ist, ist es eine Realisierung einer Länge inkommensurabel mit der Einheit, wie 2 , 3 , 5  . Weitere Einzelheiten finden Sie Quadratic irrational .

Inkommensurabel Längen in Konflikt mit dem Konzept der pythagoreischen Schule von Zahlen nur ganze Zahlen. Die pythagoreischen Schule befasste sich mit Anteilen durch den Vergleich von ganzzahligen Vielfachen von einer gemeinsamen Untereinheit. [36] Nach einer Legende, Hippasus von Metapontum ( ca. wurde 470 vor Christus) auf See ertrunken für die Existenz des Irrationalen oder inkommensurabel bekannt zu machen. [37] [38]

Komplexe Zahlen

Der absolute Wert einer komplexen Zahl z ist der Abstand r von z zu dem Ursprung

Für jede komplexe Zahl

der absolute Wert oder das Modul ist gegeben durch

So dass die drei Größen, r , x und y sind durch die pythagoreischen Gleichung verknüpft,

Man beachte , daß R definiert eine positive Zahl oder Null , jedoch werden x und y können als auch positive negativ sein. Geometrisch r ist der Abstand von der z von Null oder dem Ursprung O in der komplexen Ebene .

Dies kann verallgemeinert werden , um den Abstand zwischen zwei Punkten zu finden , z 1 und z 2 Wort. Der erforderliche Abstand ist gegeben durch

so wieder werden sie von einer Version von Pythagoras Gleichung in Beziehung,

Euklidischer Abstand in verschiedenen Koordinatensystemen

Der Abstand Formel in kartesischen Koordinaten wird aus dem Satz von Pythagoras abgeleitet. [39] Wenn ( x 1 , y 1 ) und ( x 2 , y 2 ) sind Punkte , die in der Ebene, dann der Abstand zwischen ihnen, auch als die euklidischen Distanz ist, gegeben durch

In allgemeiner, euklidischen n -Raum , die euklidische Distanz zwischen zwei Punkten, und Wird definiert, durch Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras, wie:

Wenn kartesisch nicht verwendet werden, zum Beispiel, wenn Polarkoordinaten in zwei Dimensionen verwendet werden , oder, allgemeiner ausgedrückt, wenn krummlinigen Koordinaten verwendet werden, sind die Formeln , die die euklidische Distanz exprimierenden komplizierter als der Satz des Pythagoras, sondern kann abgeleitet werden aus es. Ein typisches Beispiel , bei dem der geradlinige Abstand zwischen zwei Punkten auf krummlinigen Koordinaten umgewandelt in den finden Anwendungen von Legendre - Polynomen in Physik . Die Formeln können mit Pythagoras-Theorem mit den Gleichungen entdeckt werden zur Regelung der krummlinigen Koordinaten in kartesischen Koordinaten. Zum Beispiel kann die Polarkoordinaten ( r , θ ) eingeführt werden können als:

Dann zwei Punkte mit Positionen ( r 1 , θ 1 ) und ( R 2 , θ 2 ) durch einen Abstand getrennt s :

Durchführen der Quadrate und Kombinieren Bedingungen erzeugt die pythagoreischen Formel für Abstand in rechtwinkligen Koordinaten, die Trennung in Polarkoordinaten als:

unter Verwendung der trigonometrischen Produkt-to-Summenformeln . Diese Formel ist der Kosinussatz , manchmal auch der verallgemeinerte Satz des Pythagoras. [40] Aus diesem Ergebnis für den Fall, dass die Radien an die zwei Stellen im rechten Winkel sind, die eingeschlossene Winkel & Dgr; & thgr; = π / 2, und die Form zu Pythagoras Theorem entspricht wieder: Der Satz des Pythagoras, gültig für rechtwinklige Dreiecke, ist daher ein Sonderfall des allgemeineren Kosinussatz, gültig für beliebige Dreiecke.

Trigonometrischer Pythagoras

Ähnliche rechtwinklige Dreiecke Sinus- und Cosinus des Winkels θ zeigt,

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten a , b und Hypotenuse c , Trigonometrie bestimmt den Sinus und Kosinus des Winkels θ zwischen der Seite a und der Hypotenuse als:

Daraus folgt:

wo der letzte Schritt gilt Theorem Pythagoras. Diese Beziehung zwischen Sinus und Kosinus wird manchmal der grundlegende Trigonometrischer Pythagoras bezeichnet. [41] In ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse der Seiten gleich , unabhängig von der Größe der Dreiecke und ist abhängig von den Winkeln. Folglich ist in der Figur weist das Dreieck mit der Hypotenuse nach Größe der entgegengesetzte Seite der Größe sin  θ und die angrenzenden Seite der Größe cos  θ in Einheiten der Hypotenuse.

Bezug auf das Kreuzprodukt

Die Fläche eines Parallelogramms als Kreuzprodukt; Vektoren a und b eine Ebene und identifizieren a × b ist normal zu dieser Ebene.

Der Satz des Pythagoras betrifft das Kreuzprodukt und Skalarprodukt auf eine ähnliche Art und Weise: [42]

Dies kann aus den Definitionen des Kreuzprodukt und Skalarprodukt zu sehen ist, wie

mit n ein Einheitsvektor normal zu sowohl a und b . Die Beziehung ergibt sich aus diesen Definitionen und der Trigonometrischer Pythagoras.

Dies kann auch das Kreuzprodukt zu definieren, verwendet werden. Durch die folgende Gleichung Umordnen erhält man

Dies kann als eine Bedingung auf dem Kreuzprodukt und so einen Teil seiner Definition in Betracht gezogen werden, zum Beispiel in sieben Dimensionen . [43] [44]

Verallgemeinerungen

Ähnliche Zahlen auf den drei Seiten

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras über die Bereiche der Quadrate auf den drei Seiten zu erstrecken ähnlicher Zahlen nach bekannten wurde Hippokrates von Chios im 5. Jahrhundert vor Christus, [45] und wurde von enthalten Euclid in seinen Elementen : [46]

Wenn eine ähnliche Zahlen aufrichtet (siehe euklidischen Geometrie ) mit den Seiten auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, dann ist die Summe der Flächen der die , die auf den beiden kleineren Seiten gleich der Fläche des einen auf der größeren Seite entspricht.

Diese Erweiterung wird davon ausgegangen , dass die Seiten des ursprünglichen Dreiecks den entsprechenden Seiten der drei kongruenten Figuren sind (so die gemeinsamen Verhältnisse von Seiten zwischen den ähnlichen Zahlen a: b: c ). [47] Während Euclids Beweis nur konvexe Polygone angewandt, das Theorem gilt auch Polygone konkav und sogar auf ähnliche Figuren , die Grenzen sind gekrümmt (aber immer noch mit einem Teil einer Grenze der Figur ist die Seite des ursprünglichen Dreiecks). [47]

Die Grundidee hinter dieser Verallgemeinerung ist , dass die Fläche einer Ebene Figur ist proportional zum Quadrat einer linearen Dimension, insbesondere ist proportional zum Quadrat der Länge jeder Seite. Wenn also ähnliche Zahlen mit Bereichen A , B und C sind an den Seiten mit entsprechenden Längen aufgerichteten ein , b und c dann:

Aber durch den Satz des Pythagoras, a 2 + b 2 = c 2 , also A + B = C .

Umgekehrt, wenn man nachweisen kann , dass A + B = C für drei ähnliche Zahlen ohne Verwendung des Satzes von Pythagoras, dann können wir arbeiten nach hinten einem Beweis des Theorems zu konstruieren. Zum Beispiel kann das Startzentrum Dreieck als Dreieck repliziert werden und verwendet wird C auf seiner Hypotenuse und zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecken ( A und B ) an den beiden anderen Seiten ausgebildet ist , gebildet durch das zentrale Dreieck , das durch Dividieren ihrer Höhe . Die Summe der Flächen der beiden Dreiecken kleiner ist daher die die dritten, also A + B = C und die obige logische Umkehrung zu dem Satz des Pythagoras führt ein 2 + b 2 = c 2 .

Generalisierung für ähnliche Dreiecken,
grüner Bereich A + B = blau Bereich C
Satz des Pythagoras mit ähnlicher rechtwinkliger Dreiecke
Generalisierung für regelmäßige Fünfecke

Kosinussatz

Die Trennung s der beiden Punkte (r 1 , θ 1 ) und (R 2 , θ 2 ) in Polarkoordinaten durch die gegebene Kosinussatz . Innenwinkel Δθ = θ 12 .

Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des allgemeineren Satzes beziehen , die Längen der Seiten in jedem Dreieck, das Gesetz der Cosinus: [48]

wobei θ der Winkel zwischen den Seiten a und b .

Wenn θ 90 Grad beträgt ( π / 2 Radiant) ist , dann cos θ = 0 ist , und die Formel reduziert sich auf den gewöhnlichen Satz von Pythagoras.

beliebiges Dreieck

Generalisierung von Satz des Pythagoras von Tabit ibn Qorra . [49] Untere Tafel: Reflexion des Dreieck ABD (oben) Dreieck DBA, ähnlich wie Dreieck ABC (oben) zu bilden.

Bei jedem ausgewählten Winkel eines allgemeinen Dreiecks Seiten a, b, c , einschreiben ein gleichschenkliges Dreieck , so daß die gleichen Winkel an seiner Basis θ gleich den gewählten Winkel sind. Angenommen , der gewählte Winkel θ gegenüber der Seite gekennzeichnet ist c . Beschriften des gleichschenkligen Dreiecks bildet Dreieck ABD mit gegenüberliegenden Seite θ Winkel a und mit Seiten r entlang c . Ein zweites Dreieck mit einem Winkel θ gegenüber liegender Seite gebildet b und einer Seite mit der Länge s entlang c , wie in der Figur gezeigt. Thabit ibn Qurra festgestellt , dass die Seiten der drei Dreiecke wurden im Zusammenhang wie: [50] [51]

Da der Winkel θ nähert sich π / 2 ist , verengt sich die Basis des gleichschenkligen Dreiecks, und Längen r und s überlappen immer weniger. Wenn θ = π / 2, ADB wird ein rechtwinkliges Dreieck, r + s = c , und das Original wird Pythagoras zurückgewonnen.

Ein Beweis stellt fest , dass Dreieck ABC die gleichen Winkel wie Dreieck hat ABD , aber in umgekehrter Reihenfolge. (Die beiden Dreiecken teilen die Winkel , in Eckpunkt B, sowohl den Winkel θ enthalten, und so haben auch den gleichen dritten Winkel von dem Dreieck Postulat .) Folglich ABC der Reflexion von ähnlich ist , ABD , das Dreieck DBA in der unteren Platte. Nehmen des Verhältnisses von gegenüberliegenden Seiten und benachbart zu & thgr;

Ebenso für die Reflexion des anderen Dreiecks,

Clearing-Fraktionen und das Hinzufügen dieser zwei Beziehungen:

das gewünschte Ergebnis.

Der Satz bleibt gültig, wenn der Winkel stumpf ist die Längen so r und s nicht überlappend sind.

Allgemeine Dreiecke Parallelogramme mit

Generalisierung für beliebige Dreiecken,
grüner Bereich = blue Bereich
Konstruktion für den Nachweis der Parallelogramm Verallgemeinerung

Pappus der Region Satz ist eine weitere Verallgemeinerung, die auf Dreiecke gilt, die nicht rechtwinklige Dreiecken, mit Parallelogramm an den drei Seiten anstelle von Quadraten (Quadrate sind ein Sonderfall, natürlich). Die obere Figur zeigt , daß für ein ungleichseitiges Dreieck, die Fläche des Parallelogramms an der längsten Seite ist die Summe der Flächen der Parallelogramme auf den beiden anderen Seiten, vorgesehen , um das Parallelogramm an der Längsseite ausgebildet ist , wie angegeben (die markierten Abmessungen mit Pfeile sind die gleichen, und die Seiten des unteren Parallelogramm) bestimmen. Dieser Austausch von Quadraten mit Parallelogrammen trägt eine klare Ähnlichkeit mit dem ursprünglichen Satz des Pythagoras, und wurde durch eine Verallgemeinerung als Pappos in 4 AD [52] [53]

Die untere Abbildung zeigt die Elemente des Beweises. Konzentrieren Sie sich auf der linken Seite der Figur. Die linke grüne Parallelogramms hat die gleiche Fläche wie die linken, blauen Bereich des unteren Parallelogramm , weil beide dieselbe Basis haben b und Höhe h . Jedoch hat das linke grüne Parallelogramm auch mit der gleichen Fläche wie das linken grüne Parallelogramm der oberen Figur, da sie die gleiche Basis (die obere linke Seite des Dreiecks) und die gleiche Höhe senkrecht zu dieser Seite des Dreiecks aufweisen. Wiederholen des Argument für die rechte Seite der Figur weist die untere Parallelogramm mit der gleichen Fläche wie die Summe der beiden grünen Parallelogramme.

Solide Geometrie

Satz des Pythagoras in drei Dimensionen betrifft die Diagonale AD zu den drei Seiten.
Ein nach außen Tetraeders mit rechtwinkliger Ecke zugewandt

In Bezug auf die Volumengeometrie kann Satz des Pythagoras auf drei Dimensionen angewendet werden , wie folgt. Betrachten sie einen rechteckigen Festkörper , wie in der Figur gezeigt. Die Länge der Diagonale BD wird von Satz des Pythagoras als gefunden:

wobei diese drei Seiten bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Verwendung von horizontal Diagonalen BD und die vertikalen Kante AB , wobei die Länge der Diagonalen AD dann durch eine zweite Anwendung des Pythagoras Theorems wie gefunden wird:

oder, alles in einem Schritt zu tun:

Dieses Ergebnis ist der dreidimensionale Ausdruck für die Größe eines Vektors v (die diagonalen AD) im Hinblick auf seine orthogonalen Komponenten { v k } (die drei zueinander senkrechten Seiten):

Diese Einstufen-Formulierung kann als eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auf höhere Dimensionen betrachtet werden. Allerdings ist dieses Ergebnis wirklich nur die wiederholte Anwendung des ursprünglichen Satzes des Pythagoras auf eine Folge von rechtwinkligen Dreiecken in einer Folge von orthogonalen Ebenen.

Eine wesentliche Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf drei Dimensionen ist de Gua-Theorem , benannt nach Jean Paul de Gua de Malves : Wenn ein Tetraeders hat eine rechten Winkel Ecke (wie eine Ecke eines Würfels ), dann das Quadrat des Bereichs des Gesichts gegenüber der rechten Winkel Ecke ist die Summe der Quadrate der Bereiche der anderen drei Seiten. Dieses Ergebnis kann , wie in dem „verallgemeinert n -dimensionalen Satz des Pythagoras“: [54]

Lassen seine orthogonale Vektoren in r n . Betrachten wir die n - dimensionaler Simplex S mit den Eckpunkten. (Man denke an die ( n  - 1) -dimensionalen simplex mit den Eckpunktenohne den Ursprung als „Hypotenuse“ von S und die verbleibenden ( n  - 1) -dimensionalen Flächen S als „Beine“) , dann das Quadrat des Volumens der Hypotenuse. S ist die Summe der Quadrate der Volumina der n Beine.

Diese Aussage wird durch die Tetraeders in der Figur in drei Dimensionen dargestellt. Die „Hypotenuse“ ist die Basis des Tetraeders auf der Rückseite der Figur und die „Beine“ sind die drei Seiten von dem Scheitelpunkt in dem Vordergrund ausgehen. Da die Tiefe der Basis vom Scheitelpunkt zunimmt, nimmt die Fläche der „Beine“ zu, während die der Basis befestigt ist. Der Satz legt nahe , dass , wenn diese Tiefe bei dem Wert ist eine rechte Eckpunkt zu schaffen, die Verallgemeinerung des Pythagoras Theorem gilt. In einem anderen Wortlaut: [55]

Bei einem gegebenen n -Rechteckige n -dimensionalen simplex, das Quadrat des ( n  - 1) -Gehalts der Facette des rechten Eckpunkt gegenüberliegenden wird die Summe der Quadrate der (gleich n  - 1) -Gehalte des verbleibenden Facetten.

Prähilbertraum

Vektoren im Parallelogrammgesetz beteiligt

Der Satz des Pythagoras kann verallgemeinert werden Prähilbertraum , [56] , die Verallgemeinerungen der bekannten 2-dimensionalen und 3-dimensionalen sind euklidischen Räume . Zum Beispiel kann eine Funktion kann als eine betrachtet werden Vektor mit unendlich vielen Komponenten in einem inneren Produktraum, wie in der Funktionsanalyse . [57]

In einem inneren Produktraum, der Begriff der Orthogonalität wird durch das Konzept der ersetzt Orthogonalität : zwei Vektoren v und w sind orthogonal , wenn ihr inneres ProduktNull ist . Das innere Produkt ist eine Verallgemeinerung des Skalarprodukts der Vektoren. Das Skalarprodukt wird der genannte Standard - Skalarprodukt oder die euklidische Skalarprodukt. Jedoch sind auch andere innere Produkte möglich. [58]

Das Konzept der Länge wird durch das Konzept der ersetzten Norm || v || eines Vektors v , definiert als: [59]

In einem Innenproduktraum, der Satz des Pythagoras besagt , dass für zwei beliebige orthogonale Vektoren v und w haben wir

Hier ist der Vektoren v und w sind ähnlich den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse durch die gegebene Vektorsumme v  +  w . Diese Form des Satzes von Pythagoras ist eine Folge der Eigenschaften des inneren Produkts :

wo die inneren Produkte der Kreuzterme sind Null, da die Orthogonalität.

Eine weitere Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras in einem inneren Produktraum auf nicht-orthogonale Vektoren ist das Parallelogramm - Gesetz  : [59]

das besagt , dass das Zweifache der Summe der Quadrate der Längen der Seiten eines Parallelogramms die Summe der Quadrate der Längen der Diagonalen ist. Jede Norm , die diese Gleichheit erfüllt ist , ipso facto Norm zu einem inneren Produkt entspricht. [59]

Die pythagoreische Identität kann auf Summen von mehr als zwei orthogonalen Vektoren erweitert werden. Wenn v 1 , v 2 , ..., V n sind paarweise orthogonale Vektoren in einer Innenproduktraum, dann Anwendung des Satzes des Pythagoras auf aufeinanderfolgende Paare dieser Vektoren (wie für 3-Dimensionen im Abschnitt beschrieben Stereometrie ) führt zu der Gleichung [60]

Sätze von m - dimensionaler Objekte in n - dimensionalen Raum

Eine weitere Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras, eingeführt von Donald R. Conant und William A. Beyer, gilt für eine breite Palette von Objekten und Gruppen von Objekten in einem beliebigen Anzahl von Dimensionen. Insbesondere wird das Quadrat der Maßnahme eines m -dimensionalen Satz von Objekten in einer oder mehreren parallelen m -dimensionale Wohnungen in n -dimensionalen euklidischen Raum ist gleich der Summe der Quadrate der Maßnahmen der orthogonalen Projektionen des Objekts (s ) auf allen m -dimensionale Unterräume koordinieren. [61]

Mathematisch ausgedrückt:

woher:

  • ist ein Maß in m -Abmessungen (eine Länge in einer Dimension, ein Volumen in drei Dimensionen, usw. ein Bereich in zwei Dimensionen).
  • ist ein Satz von einem oder mehreren nicht überlappenden m - dimensionaler Objekte in einem oder mehreren parallelen m -dimensionale Wohnungen n -dimensionalen euklidischen Raum.
  • ist die Gesamtmaßnahme (sum) des Satzes von m - dimensionalen Objekten.
  • steht für eine m - dimensionale Projektion des ursprünglichen Satzes auf einen orthogonalen Unterraum koordinieren.
  • ist das Maß für die m - dimensionale Soll Projektion auf m - dimensionalen Unterraum - Koordinaten. Da Objekt Vorsprünge auf einem Koordinatenteilraum überlappen können, muß das Maß für jedes Objekt Projektion in dem Satz individuell berechnet werden, dann Maßnahmen aller Projektionen addiert, um die Gesamt Maß für den Satz von Vorsprüngen auf der gegebenen bereitzustellen Koordinaten Subraum.
  • ist die Anzahl der orthogonalen, m Subräume in Koordinaten -dimensionalen n -dimensionalen Raum ( R n ) , auf denen die m - dimensionalen Objekte projiziert werden ( mn ):
Zum Beispiel für einen Satz von einem oder mehrer parallelen zweidimensionalen Objekten in einem dreidimensionalen Raum, m = 2 und n = 3. Daher ist die Unterraumberechnung für dieses Szenario Koordinate ist: x ? = 3/2 (3- 2)! = 2 * 3 * 1/2 * 1 * 1 = 6/2 = 3
Somit Koordinaten drei Ebenen ( xy - Ebene, XZ -Ebene und yz - Ebene) sind erforderlich für die Berechnung der Fläche des Satzes , die notwendigen Projektionen zu erfassen. Wenn der Satz enthaltenen eindimensionale parallele Liniensegmente stattdessen drei Koordinatenachsen ( x , y und z ), anstatt Ebene erforderlich wäre, um die Projektionen für die Berechnung der Länge des Satzes zu erfassen.
Ein Liniensegment, c, mit einer Länge von 6 ragt auf der x-Achse als ein Liniensegment, a, der Länge 5,1962 und ragt auf der y-Achse als ein Liniensegment, b, der Länge 3. Beitritt erzeugt die Liniensegmente zusammen einen rechten Dreieck.
Die Conant-Beyer Verallgemeinerung auf ein eindimensionales Objekt in zwei Dimensionen des Raumes:
ein 2 + b 2 = c 2 .

Angewandt auf Sätze ein einzelnes Objekt enthält,

Diese verallgemeinerten Formel kann im einfachsten Fall auf ein einzelnes eindimensionales Objekt, ein Liniensegment, in einem zweidimensionalen Raum angewendet werden. Die Animation veranschaulicht diesen Fall mit einem Liniensegment in Blau und ihre Projektionen auf die gezeigten x - und y - Achsen in grün dargestellt. Die Längen der Vorsprünge quadriert und zusammenaddiert gleich der Länge des ursprünglichen Liniensegments zum Quadrat. Daraus ergibt sich der bekannte Satz des Pythagoras Formel:

wobei c die Länge des ursprünglichen Liniensegmentes ist, a die Länge des Segments auf die projizierten x - Achse, und b ist die Länge des Segments auf den projizierten y -Achse. In der Animation, a 2 = 27, b 2 = 9, und c 2 = 36 das Liniensegment Der Zusammenführung mit ihren Vorsprüngen Koordinaten bilden das traditionelle rechtwinklige Dreieck.


Ein Quadrat, deren Fläche im Quadrat ist 81 Verschiebungen in verschiedene Ausrichtungen.  Projektionen auf die drei Koordinatenebenen entsprechend der Ausrichtung des Quadrates verschiebt.  Die Quadrate der Projektionsflächen summieren sich immer auf 81.
Die Conant-Beyer Verallgemeinerung auf ein zweidimensionales Objekt in drei Dimensionen des Raumes:
A 2 + B 2 + C 2 = D 2 .


In ähnlicher Weise für jedes zweidimensionales Objekt in einem dreidimensionalen Raum kann die Formel wie folgt ausgedrückt werden:

wobei D die Fläche eines spezifizierten zweidimensionales Objekt ist, A die Fläche des Objekts Projektion auf der ist xy - Koordinatenebene, B ist die Fläche des Vorsprungs des Objekts auf der xz -Koordinate Ebene, und C ist der Bereich der Gegenstand der Projektion auf die yz -Koordinate Ebene.

Die Animation ein blaues drei mal drei Quadrat Objekt in drei Dimensionen des Raumes zeigt, veranschaulicht diese Anwendung der Verallgemeinerung auf ein Objekt von mehr als eine Dimension. Da die Ausrichtung des Objekts ändert, stellen die Anteile der grünen Koordinatenebene Vorsprünge entsprechend, so dass die Quadrate der Bereiche der Vorsprünge stets auf den gleichen Wert aufaddieren: Quadrat der Fläche des ursprünglichen Objekts. In diesem Fall fügen Sie die Summe der Quadrate der Projektionsflächen immer bis 81 auf.


Bildunterschrift
Die Conant-Beyer Generalisierung auf einen Satz von eindimensionalen Objekten in drei Dimensionen des Raumes angewandt:
a 2 + b 2 + c 2 = d 2
, wo a , b und c insgesamt Längen der Liniensegmentsätze auf der repräsentieren x - , Y - und Z - Achsen, und d die Gesamtlänge des ursprünglichen Liniensegment gesetzt.

Angewandt auf Sets mit mehreren Objekten

Die Verallgemeinerung gilt auch für Gruppen von mehreren Objekten, solange sie in der gleichen Ebene oder parallelen Ebenen liegen. Die Maßnahmen der Objekte in einem solchen Satz zusammen und im Wesentlichen als ein einzelnes Objekt behandelt hinzugefügt werden. Die Mehrfach-Liniensegment-Animation veranschaulicht die auf einen Satz von drei eindimensionalen Objekten in drei Dimensionen des Raumes angewandt Generalisierung. In diesem Fall werden zwei aufeinanderfolgende Liniensegmenten bestehen, die parallel zu einem dritten Liniensegment. Da Linien eindimensional sind, die Koordinatenunterräume, auf die sie projiziert werden, müssen ebenfalls eindimensional sein. Somit erscheinen Vorsprünge auf den Koordinatenachsen nicht auf den Ebenen koordinieren. Die Längen der projizierten Liniensegmente auf einer gegebenen Achse aufsummiert werden, dann quadriert, dann zu den Gesamtlängen auf den anderen Achsen im Quadrat. Das Ergebnis ist die quadrierte Summe der Längen der ursprünglichen Liniensegmente. Aus Gründen der Einfachheit, wenn Vorsprünge einzelne Punkte der Länge Null sind, sind sie nicht gezeigt, da sie nicht die Berechnungen beeinflussen.


Ein Satz (D) eine Katze besteht, ein Dreieck, einen Kreis und wird auf die Ebene drei Koordinaten projizierenden Projektionssätze (mit der Bezeichnung A, B und C) herzustellen.
Die Conant-Beyer Verallgemeinerung auf eine zweidimensionale Gruppe von Objekten in drei Dimensionen des Raumes:
A 2 + B 2 + C 2 = D 2 .

Die Verallgemeinerung gilt für flache Objekte in beliebiger Form, regelmäßig oder unregelmäßig. Die Multi-Objekt - Animation veranschaulicht die Verwendung der Verallgemeinerung auf einem Satz von mehreren verschiedenen Objekten in unterschiedlichen Ebenen - in diesem Fall ein Dreieck und ein Kreis auf einer Ebene, und eine flache Katze auf einer parallele Ebene (in blau dargestellt). Projektionen des Satzes werden in grün auf der Ebene Subräume Koordinate dargestellt. Objekte gezeigt zunächst aufrecht in der yz - Ebene werden anschließend parallel geneigt. Auch unabhängig von eingestellten Orientierung bleibt das Ergebnis das gleiche. Auf jeder Ebene Subraum - Koordinate werden die Bereiche des Objekt Vorsprünge individuell berechnet (Rechenfehler zu vermeiden , aufgrund von Projektions Überlappung), addierte dann zusammen die gesamte Projektionsfläche des Satzes auf dieser Ebene zu erzeugen. Der Projektionssatz Bereich wird dann für jede Koordinatenebene zum Quadrat. Die Summe aller Projektionssatz Bereiche im Quadrat ist immer gleich die ursprüngliche Satz Fläche im Quadrat.


in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen angewendet

Diese Verallgemeinerung gilt unabhängig von der Anzahl der Dimensionen beteiligt. Das Volumen für einen dreidimensionalen Gegenstand oder Satz quadriert kann durch Summieren der Quadrate der Volumina der zugeordneten dreidimensionalen Projektionen auf dreidimensionale Unterräume berechnet werden. Eine beliebige Anzahl von Dimensionen gilt für den Satz, solange man die gleiche Anzahl von Dimensionen verwendet für die Koordinatenunterräume und Vorsprünge.

Es ist die Einbau-Symmetrie des kartesischen Koordinatensystems in dem Koordinaten orthogonale Vektoren mit Einheitslänge in flach sind euklidischen Raum , der diese Verallgemeinerung so breit anwenden können.


Nicht-euklidische Geometrie

Der Satz des Pythagoras aus den Axiome der abgeleiteten euklidischen Geometrie , und in der Tat, da der Satz des Pythagoras oben hält nicht in einer nicht-euklidischen Geometrie . [62] (Der Satz des Pythagoras hat in der Tat gezeigt, wurde, als äquivalent zu Euklidischen Parallel (Fünfte) Postulat . [63] [64] ) Mit anderen Worten, in nicht-euklidischen Geometrie, die Beziehung zwischen den Seiten eines Dreiecks muss nehmen notwendigerweise eine nicht pythagoreische Form. Beispielsweise in sphärischer Geometrie sind alle drei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks (sagen wir eine , b , und c ) ein Oktant der Einheitskugel begrenzenden aufweisen Länge gleich & pgr; / 2 ist , und alle ihre Winkel sind rechtwinklig, die gegen die pythagoreischen Satz , weil ein 2 + b 2c 2 .

Hier ist zwei Fälle von nicht-euklidischen Geometrie sind considered- sphärische Geometrie und hyperbolische Ebene Geometrie ; in jedem Fall ist , wie in der euklidischen Fall für nicht-rechtwinklige Dreiecke, ergibt sich aus dem entsprechenden Kosinussatz das Ergebnis den Satz des Pythagoras zu ersetzen.

Jedoch ist der Satz des Pythagoras bleibt wahr in der hyperbolischen Geometrie und elliptische Geometrie , wenn die Bedingung , dass das Dreieck rechts wird mit der Bedingung ersetzt , dass zwei der Winkel zum dritten Summe, sagt A + B = C . Die Seiten werden dann wie folgt in Beziehung: wobei die Summe der Flächen der Kreise mit Durchmessern a und b ist gleich die Fläche des Kreises mit dem Durchmesser c . [65]

sphärische Geometrie

sphärisches Dreieck

Für jedes rechtwinkliges Dreieck auf einer Kugel mit dem Radius R (zum Beispiel, wenn das in der Figur & ggr; ist ein rechter Winkel), mit den Seiten a , b , c , wird die Beziehung zwischen den Seiten hat die Form: [66]

Diese Gleichung kann als ein Spezialfall des ableiten sphärischen Kosinussatz , die für alle sphärischen Dreiecken gilt:

Durch Expression der Maclaurinschen Serie für die Cosinus - Funktion als eine asymptotische Entwicklung mit dem Restglied in O - Notation ,

es kann gezeigt werden , daß , wenn der Radius R gegen unendlich geht und die Argumente a / R , B / R und C / R auf Null tendieren, die sphärische Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die euklidische Form des Satzes von Pythagoras annähert. Substituieren der asymptotische Entwicklung für jede der Cosinus in die sphärische Beziehung für ein rechtwinkliges Dreieck Ausbeuten

Die Konstanten a 4 , b 4 , und c 4 wurden in den großen absorbiert O Restglieder , da sie unabhängig von dem Radius R . Dieser asymptotische Beziehung kann durch die eingeklammerten Ausmultiplizieren Mengen vereinfacht werden, die , die Aufhebung, durch -2 Multiplikation durch und sammelt alle Fehlerausdrücke zusammen:

Nach Multiplikation mit durch R 2 , die euklidischen pythagoreischen Beziehung c 2 = a 2 + b 2 in der Grenze zurückgewonnen wird , wenn der Radius R gegen unendlich geht (da das Restglied gegen Null geht):

Für kleine rechtwinklige Dreiecke ( a , b << R ) kann die Cosinus zu vermeiden , werden eliminiert Bedeutungsverlust , was

Die hyperbolische Geometrie

In einem hyperbolischen Raum mit einheitlichem Krümmungs -1 / R 2 , für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Beinen ein , b und Hypotenuse c , nimmt die Beziehung zwischen den Seiten der Form: [67]

wobei cosh ist die hyperbolische Cosinus . Diese Formel ist eine spezielle Form des hyperbolischen Kosinussatz , die für alle hyperbolischen Dreiecken gilt: [68]

mit dem Winkel am Scheitel gegenüber der Seite & gamma; c .

Durch die Verwendung von Maclaurin Serie für den hyperbolischen Cosinus, cosh x ≈ 1 + x 2 /2 , kann es gezeigt werden , dass als eine hyperbolische Dreieck sehr klein wird (das heißt, als eine , b und c alle gegen Null), der hyperbolischen Beziehung für ein rechtwinkliges Dreieck nähert sich die Form des Satzes des Pythagoras.

Für kleine rechtwinklige Dreiecke ( ein , b << R ) können die hyperbolischen Cosinus zu vermeiden , werden eliminiert Bedeutungsverlust , was

Sehr kleine Dreiecke

Für jede gleichmäßige Krümmung K (positiv, Null oder negativ), in sehr kleinen rechtwinkligen Dreiecken (| K | a 2 , | K | b 2 << 1) mit Hypotenuse c , kann gezeigt werden , dass

Differentialgeometrie

Die Entfernung zwischen infinitesimal getrennten Punkten in rechtwinkligen Koordinaten (oben) und Polarkoordinaten (unten), wie von Pythagoras-Theorem gegeben

Auf einem infinitesimalen Ebene im dreidimensionalen Raum beschreibt Satz des Pythagoras die Entfernung zwischen zwei getrennten Punkten infinitesimal als:

mit ds das Element der Distanz und ( dx , dy , dz ) die Komponenten des Vektors die zwei Punkte trennt. Ein solcher Raum ist ein sogenannter euklidischen Raum . Jedoch in Riemannschen Geometrie , eine Verallgemeinerung dieses Ausdrucks nützlich für allgemeine Koordinaten (nicht nur Cartesian) und allgemeine Räume (nicht nur euklidische) die Form: [69]

welche die genannte Metriktensor . (Manchmal durch Missbrauch der Sprache wird der Begriff auf die gleiche Menge von Koeffizienten angewandt g ij ) . Es kann eine Funktion der Position sein, und oft beschreibt gekrümmten Raum . Ein einfaches Beispiel ist die euklidische (flach) Raum in ausgedrückt krummlinigen Koordinaten . Zum Beispiel in Polarkoordinaten :

Geschichte

Die Plimpton 322 Tablette Aufzeichnungen Pythagoreische verdreifacht aus der babylonischen Zeiten. [7]

Es wird diskutiert , ob der Satz des Pythagoras einmal entdeckt wurde, oder viele Male in vielen Orten, und das Datum der ersten Entdeckung ist ungewiss, da das Datum des ersten Beweis. Nach Joran Friberg, Historiker der Mathematik gibt Hinweise darauf , dass der Satz des Pythagoras auf die Mathematiker des bekannten wurde Erste babylonischen Dynastie (20. bis 16. Jahrhundert vor Christus), die mehr als tausend Jahren gewesen wäre , bevor Pythagoras geboren wurde, so ein Beispiel für Stiglers Gesetz . [70] ( Yale ‚s Institut für die Erhaltung von Kulturgut ‘ s 3-D - Scan einer Keilschrifttafel zeigt den Beweis ist eine ihrer meist weit verbreiteten Bilder.) [71] Andere Quellen, wie zum Beispiel ein Buch von Leon Lederman und Dick Teresi , erwähnen , dass Pythagoras den Satz entdeckt, [72] obwohl Teresi erklärte anschließend , dass die Babylonier den Satz entwickelte „mindestens 1500 Jahre vor Pythagoras geboren wurde.“ [73] Die Geschichte des Satzes kann in vier Teile unterteilt werden: Kenntnis des Pythagoreisches Tripels , die Kenntnis der Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks , der Kenntnis der Beziehungen zwischen benachbarten Winkeln, und Beweise des Satzes innerhalb eines deduktiven Systems.

Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996) vermutete , dass Pythagoreische verdreifacht wurden entdeckt algebraisch durch die Babylonier. [74] Geschrieben zwischen 2000 und 1786 vor Christus, das Reich der Mitte ägyptischen Berlin Papyrus 6619 enthält ein Problem , dessen Lösung die Pythagoreische triple 6: 8: 10, aber das Problem nicht erwähnt , ein Dreieck. Die mesopotamische Tablette Plimpton 322 , geschrieben zwischen 1790 und 1750 vor Christus während der Herrschaft von Hammurabi des Großer, enthält viele Einträge in engen Zusammenhang mit Pythagoreische verdreifachen.

In Indien , dem Baudhayana Sulba Sutra , sind die Tage , an denen verschiedentlich als zwischen dem 8. und 5. Jahrhundert vor Christus, gegeben [75] enthält eine Liste von Pythagoreisches Tripel algebraisch entdeckt, eine Aussage des Satzes von Pythagoras und einen geometrischen Beweis des pythagoräischen Satz für ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Die Apastamba Sulba Sutra (c. 600 BC) enthält einen numerischen Beweis des allgemeinen Satzes von Pythagoras, eine Flächenberechnung verwendet wird . Van der Waerden glaubte , dass „es sicherlich auf frühere Traditionen beruhte“. Carl Boyer besagt , dass der Satz des Pythagoras in Śulba-sûtram wurde von alter mesopotamischen Mathematik beeinflusst, aber es gibt keine schlüssigen Beweise für oder Opposition von dieser Möglichkeit Gebrauch . [76]

Geometrischer Beweis des Satzes von Pythagoras aus dem Zhoubi Suanjing .

Mit Inhalt viel früher bekannt, aber Texte in Überlebenden von etwa 1.em Jahrhundert vor Christus datieren, der chinesische Text Zhoubi Suanjing (周髀算经), ( Die Arithmetical Klassik des Gnomon und die Kreisbahnen des Himmels ) verursacht eine Begründung für die Pythagoreische Satz für die (3, 4, 5) dreieck in China ist es das "Gougu Theorem" (勾股定理) genannt. [77] [78] Während die Handynastie (202 BC bis 220 AD), Pythagoreisches Tripel in erscheinen Jiu Zhang Suanshu , [79] zusammen mit einem Hinweis auf rechtwinkligen Dreiecken. [80] Einige glauben , dass der Satz entstand zuerst in China , [81] wo es alternativ als „Shang Gao Theorem“ (商高定理), bekannt [82] nach dem Herzog von Zhou Astronom und Mathematiker benannt, dessen Argumentation bestehen die meisten von dem, was in dem war Zhoubi Suanjing . [83]

Pythagoras , dessen Daten werden als 569-475 BC allgemein gegeben, algebraische Methoden Pythagoreisches Tripel zu konstruieren, nach Proklus ‚s Kommentierung Euclid . Proclus schrieb jedoch zwischen 410 und 485 AD. Laut Thomas L. Heath (1861-1940), existiert keine spezifische Zuordnung des Satzes zu Pythagoras in der überlebenden griechischen Literatur aus den fünf Jahrhunderten nach Pythagoras lebte. [84] Wenn jedoch Autoren wie Plutarch und Cicero den Satz zu Pythagoras zugeschrieben, taten sie dies in einer Weise , was darauf schließen lässt , dass die Zuschreibung weithin bekannt war und zweifellos. [5] [85] „Ob diese Formel zu Recht persönlich Pythagoras zugeschrieben wird, [...] kann man mit Sicherheit davon ausgehen , dass sie die ältesten Periode der pythagoreischen Mathematik gehört.“ [38]

Rund 400 vor Christus, nach Proclus, Plato hat ein Verfahren zum Auffinden Pythagoreische dass Algebra und Geometrie kombiniert verdreifacht. Rund 300 vor Christus in Euklids Elementen , der älteste erhaltene axiomatische Beweis ist des Satzes dargestellt. [86]

In der populären Kultur

Ausstellung auf dem Satz des Pythagoras im Universum Museum in Mexiko - Stadt

Der Satz des Pythagoras hat in entstanden populären Kultur in einer Vielzahl von Möglichkeiten.

  • John Aubrey in seinem Brief Lives Aufzeichnungen von Thomas Hobbes , dass „Er war 40 Jahre alt , bevor er auf Geometrie sah;. , Die aus Versehen passiert sein in einem Herrn Bibliothek Euklids Elemente offen legen und‚twas die siebenundvierzigste Satz * im ersten Buch . er las den Satz. ‚Mit dem G‘ , sagte er, ‚das ist unmöglich!‘ So liest er die Demonstration davon, die ihn zu einem solchen Beweis zurückverwiesen;. , Die ihn in einen anderen zurückverwiesen, die er auch lesen Et sic deinceps, dass schließlich war er demonstrativ überzeugt von dieser Wahrheit Diese ihm in der Liebe mit. Geometrie."
  • Hans Christian Andersen schrieb im Jahr 1831 ein Gedicht über den Satz des Pythagoras: Formen Evige Magie (Et poetisk Spilfægteri) . [87]
  • Ein Vers der Generalmajor Lied in der Gilbert und Sullivan komischen Oper Die Piraten von Penzance „Über Binomialsatz mit viel o‘ Nachrichten, mit vielen fröhlichen Fakten über das Quadrat der Hypotenuse Ich bin nur so wimmelt“, macht eine schräge Bezugnahme auf den Satz. [88]
  • Die Vogelscheuche im Film Der Zauberer von Oz macht einen genaueren Hinweis auf den Satz. Nach seinem Diplom aus dem Aufnahmeassistenten , zeigt er sofort sein „Wissen“ durch eine verstümmelte und falsche Version des Satzes zu rezitieren: „Die Summe der Quadratwurzeln von irgendwelchen zwei Seiten eines gleichschenkligen Dreieck mit der Quadratwurzel der verbleibenden gleich Seite. Oh, Freude! Oh, Verzückung! ich habe ein Gehirn hat!“ [89] [90]
  • Im Jahr 2000 Uganda veröffentlichte eine Münze mit der Form eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks. Die Schwanz der Münze hat ein Bild von Pythagoras und die Gleichung α 2 + β 2 = γ 2 , mit dem Vermerk „PYTHAGORAS MILLENNIUM“ begleitet. [91]
  • Griechenland , Japan , San Marino , Sierra Leone und Suriname ausgestellt Briefmarken Pythagoras und den Satz des Pythagoras darstellt. [92]
  • In Neal Stephenson ‚s spekulative Fiktion Anathem wird der Satz des Pythagoras bezeichnet als‚der Adrakhonic Satz‘. Ein geometrischer Beweis des Theorems ist auf der Seite eines fremden Schiffs angezeigt , um die Fremde Verständnis der Mathematik zu demonstrieren.

Siehe auch

Notizen

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Referenzen

Externe Links